検索フォーム
ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード
QRコード

スポンサーサイト

--.--.--
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

ゲーデルの不完全性定理

2009.12.12
ゲーデルの不完全性定理(ゲーデルのふかんぜんせいていり、独:GödelscheUnvollständigkeitssatz)又は単に不完全性定理とは、数学基礎論における重要な定理の一つで、ライブチャット・ゲーデルが1931年に発表したもの。目次1概要2詳細2.1ゲーデル文の構成2.2第一不完全性定理の証明2.3第二不完全性定理の証明3その影響・応用4ゲーデル以後の展開5関連項目6脚注7参考文献[編集]概要ゲーデルの定理でいう証明不能命題Gは、「Gは証明できない」という命題と同値である。Gはゲーデル文と呼ばれる。Gが証明可能であれば、命題「Gは証明できる」もまた証明可能である。一方Gは命題「Gは証明できない」と同値であることが証明可能であるので、両者から矛盾が導かれる。つまり「クレジットカード現金化 即日が証明できる」ならば「矛盾が証明できる」 ...(A)したがって、対偶を取れば「矛盾が証明できない」ならば「Gが証明できない」...(B)となる。また、¬Gが証明可能であれば、Gの性質から命題「Gは証明できる」も証明可能である。この際、もしGそのものが証明不能だとすると、ω矛盾ということになる。ω無矛盾であればGも証明可能である。しかしGが証明可能であれば「Gは証明できない」も証明可能であるので、やはり両者から矛盾が導かれる。したがってω無矛盾であれば¬Gも証明できないのである。よってω無矛盾であれば、Gも¬Gも証明できない。(第一不完全性定理)なお、証明可能性の代わりに真理性を用いるならば、パラドックスが導かれる。このことから、自然数論における真理性は自然数論の中では表現できないことが示される。(タルスキの定理)ゲーデル文を構成するためには自然数論の式を自然数に変換するゲーデル数および自己言及のパラドックスで用いられる対角化の技法が必要である。自然数を変数とする述語「xは…である」の対角化は、左記の述語のxに「xは…である」のゲーデル数を代入した命題である。その意味は「「クレジットカード現金化 即日は…である」は…である」となる。ゲーデル文Gは「「xで表される述語の対角化は証明できない」で表される述語の対角化は証明できない」と表される。「xで表される述語の対角化は証明できない」の対角化は、G自身と同値になる。さて、自然数論の無矛盾性とは、「自然数論において矛盾が証明できない」ということである。そして、自然数論による自然数論の無矛盾性証明とは、「」内が、自然数論で証明できるということである。「自然数論で矛盾が証明できない」と自然数論で証明できれば、第一不完全定理での議論中の(B)より「Gが証明できない」と証明できる。しかし、「Gが証明できない」とはGと同値であるから、Gも証明されることとなり、そこから第一不完全定理での議論中の(A)により、矛盾が証明される。したがって自然数論が無矛盾、すなわち自然数論で矛盾が証明されないならば、そのこと自体も自然数論では証明できない。(第二不完全性定理)[編集]詳細ゲーデルの定理は「自然数論を含む帰納的に記述可能な公理系」に対して示されているが、ここでは簡単の為、自然数論のみを扱う。一般の場合も同様。[編集]ゲーデル文の構成「概要」のところでも説明したように、ゲーデル数というテクニックを使って間接的に自己言及を可能とし、アフリカーンス語で日本のニュースを読む文を構成する。コンピュータでは全てのデータを一意な数値で表しており、特に文字列や論理式も数値で表す。このように、論理式を数値で表す行為を論理式のゲーデル数化といい、命題Pに対応する数値をPのゲーデル数という。[1]ゲーデル数化により、論理式に関する様々な性質を論理式として表す事ができる。たとえば、Axio
スポンサーサイト
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。